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    Valentin Belousov



    Quasigroupe, p1

    Anniversaire de Valentin Belousov (1925-1988)

    Le 20 février 2005 l’anniversaire de Valentin Belousov (1925-1988) sera célébré en Moldavie. Cet anniversaire sera marqué par des conférences sur la Théorie des Quasigroupes. Elles seront organisés par la Société Mathématique de Moldavie, l’Université de Moldavie et l’Académie des Sciences de Moldavie.

    Valentin Danilovitsch Belousov est le père de la Théorie des Quasigroupes. Il reste le mathématicien le plus prestigieux de la Moldavie. Il est à l’origine de l’école Mathématique Moldave. Son livre : Belousov V.D., Foundations of the Theory of Quasigroups and Loops, Nauka, 1967, MR 36 fait référence dans la théorie des Quasigroupes et Boucles.

    Les personnes intéressés à participer aux conférences doivent adresser leurs papiers avant le 30 Avril 2005 pour les (QRS) et jusqu’au 15 Août (BASM). Les auteurs peuvent avoir plus d’informations sur le site :

    http://www.quasigroups.prv.pl/

    Quasigroupe

    En mathématique, un quasigroupe est un magma dans lequel la division est toujours possible.

    Un quasigroupe est un ensemble, ici notée *, tel que pour tout a et b élément de Q il existe une solution unique pour les équations a * x = b et y * a = b. Dans cette encyclopédie, nous présumons que les quasigroupes sont non vides.

    Notons que, dans les quasigroupes, tout élément est régulier, en effet si a * b = a * c, alors b = c. Ceci parce que x = b est certainement solution de a * b = a * x, et que cette solution est unique. De la même façon si a * b = c * b, alors a = c.

    La table de multiplication d’un quasigroupe fini est appelé un carré latin : une matrice n Ã- n remplie avec n symboles différents d’une telle façon que chaque symbole apparaisse exactement une fois par ligne et une fois par colonne.

    Un quasigroupe avec un élément neutre est appelé une boucle (loop en anglais). D’après la définition d’un quasigroupe, tout élément d’une boucle a un inverse à droite et un inverse à gauche.

    Une boucle de Moufang est un quasigroupe Q dans lequel (a * b) * (c * a) = (a * (b * c)) * a, pour tout a, b et c dans Q. Comme le nom le suggère, une boucle de Moufang est une boucle : pour tout a de Q, et e élément de Q tel que a * e = a alors pour tout x dans Q, (x * a) * x = (x * (a * e)) * x = (x * a) * (e * x), donc x = e * x et e un élément neutre à gauche. Pour tout b appartenant a Q tel que b * e = e alors y * b = e * (y * b), car e est neutre à gauche, ainsi (y * b) * e = (e * (y * b)) * e = (e * y) * (b * e) = (e * y) * e = y * e donc y * b = y, et b est neutre a droite. Enfin, e = e * b = b, donc e est un élément neutre.

    Tout groupe est un quasigroupe, parce que a * x = b si et seulement si x = a-1 * b, et y * a = b si et seulement si y = b * a-1. De plus un quasigroupe associatif est une boucle de Moufang et une boucle associative est un groupe. Ceci montre que l’ensemble des groupes est exactement l’ensemble des quasigroupes associatifs. La théorie des boucles est similaire à celle des groupes.




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